三角形中线公式的推导

题：如图，已知△ABC的三边为a，b，c，求中线AD、BE、CF的长。

分析：根据题意，题目中只有BD=DC=a/2这样的条件，要想用a，b，c的代数式表示出AD，必须添加辅助线，其中作高AE是最佳的选择。

解：作△ABC的高AE。

因为AD是中线，所以BD=DC=a/2，设DE=x，则CE=a/2-x。

在Rt△ADE、Rt△ABE、Rt△ACE中，由勾股定理，得

AD^²=AE^² DE^²,

因为AE^²=AB^²-BE^²=AC^²-CE^²,

所以2AE^²=AB^²-BE^² AC^²-CE^²

=AB^² AC^²-(BD DE)^²-(DC-DE)^²

=c^² b^²-(a/2 x)^²-(a/2 x)^²

= b^² c^²-a^²/4-ax-x^²-a^²/4 ax-x^²

= b^² c^²-a^²/2-2x^²，

所以2AD^²=2AE^² 2DE^²

= b^² c^²-a^²/2-2x^² 2x^²

= b^² c^²-a^²/2，

所以AD^²=( b^² c^²-a^²/2)/2，

所以AD=1/2√[2(b^² c^²)-a^²].

同理，BE=1/2√[2(c^² a^²)-b^²].

CF= 1/2√[2(a^² b^²)-c^²].